Lagen om stora nummer
Igår satt vi och diskuterade och en kort stund kom lagen om stora nummer på tal. Eller, på tal och på tal. Det var mer såhär:
Jag: "Men då har du inte tagit i beaktning lagen om stora nummer."
Annan: "Jaha."
Lagen om stora nummer dikterar att ges tillräckligt många försök blir extremt osannolika händelser plötsligt oundvikliga.
Igår använde vi kortspelande som exempel och det tänker jag fortsätta med. (Vill dock lägga in i denna lilla parentes att gårdagens ämne inte uppenbarligen har med detta att göra.) Sannolikheten att få 10 hjärter på rad är väldigt liten och det påstods att ifall vi tog fram en kortlek och började deala så skulle ingen av oss få 10 hjärter på rad den kvällen. Detta kan enkelt ställas om i matte. För varje dragning av kort är det 1/4 chans att få rätt kort, dvs hjärter. För att räkna ut sannolikheten att få 10 hjärter i rad kan vi därför multiplicera 0,25 med sig själv 10 gånger, eller ännu änklare köra 0,25 upphöjt till 10. Vi får ut 0,0000009536. 1 chans på 1 048 576. Extremt osannolikt att det händer någon av oss den kvällen.
Men vad händer då när lagen om stora nummer appliceras. Nytt tankeexperiment. Vi låtsas att hela Sveriges befolkning beslutar att göra detta en dag. Först och främst kommer det säljas väldigt många kortlekar den dagen. Därpå upptäcker man att nästan 9 personer kommer få bara hjärter vid en utdelning av 10 kort. Detta för att 0,0000009536 x 9 336 487 = 8,9. Det osannolika har blivit oundvikligt.
Jag brukar alltid komplettera mina små tankeexperiment med programmeringsexempel, så nu ska jag skriva PHP (Pomle har programmerat). Brb.
Nu har jag programmerat och det blev följande skript: http://pastie.org/819660.
Här kan du köra skriptet: http://dev.pomle.com/10sofhearts.php
När jag provkörde programmet fick jag min första fullständiga hjärterhand på 170 000:e försöket. Långt under förväntat antal försök. Menså fungerar sannolikhet! Det finns inget i sannolikhetsläran som säger att det är troligare att det tar 1 048 576 försök än 1. Den säger bara till oss att fortsätter vi dela kort kommer en hand med 10 hjärter bara delas ut en gång på 1 048 576 i genomsnitt.
*** Uppdatering ***
I mitt exempel har jag använt en oändligt stor kortlek. Det är inte helt realistiskt så därför ska jag nu komplettera uträkningen.
Utgångspunkten är 52 kort. 13 av varje Hjärter, Ruter, Spader och Klöver. Första kortet blir fortfarande 0,25 eftersom 13 / 52 = 0,25. Vad man se måste göra är att subtrahera 1 från både Hjärter-poolen och total-poolen så att vi får 12 / 51 dvs 0,235. Vi fortsätter ytterligare 9 gånger och multiplicerar alla resultat med varandra. Jag lät en dator göra det åt mig med hjälp av skriptet här: http://pastie.org/832465.
Här kan skriptet köras: http://dev.pomle.com/ChanceOfOnlyRed.php.
Det nya resultatet är 1 chans på 55 314 770.
Vi kan kalla det antingen felräkning eller lathet.
Jag: "Men då har du inte tagit i beaktning lagen om stora nummer."
Annan: "Jaha."
Lagen om stora nummer dikterar att ges tillräckligt många försök blir extremt osannolika händelser plötsligt oundvikliga.
Igår använde vi kortspelande som exempel och det tänker jag fortsätta med. (Vill dock lägga in i denna lilla parentes att gårdagens ämne inte uppenbarligen har med detta att göra.) Sannolikheten att få 10 hjärter på rad är väldigt liten och det påstods att ifall vi tog fram en kortlek och började deala så skulle ingen av oss få 10 hjärter på rad den kvällen. Detta kan enkelt ställas om i matte. För varje dragning av kort är det 1/4 chans att få rätt kort, dvs hjärter. För att räkna ut sannolikheten att få 10 hjärter i rad kan vi därför multiplicera 0,25 med sig själv 10 gånger, eller ännu änklare köra 0,25 upphöjt till 10. Vi får ut 0,0000009536. 1 chans på 1 048 576. Extremt osannolikt att det händer någon av oss den kvällen.
Men vad händer då när lagen om stora nummer appliceras. Nytt tankeexperiment. Vi låtsas att hela Sveriges befolkning beslutar att göra detta en dag. Först och främst kommer det säljas väldigt många kortlekar den dagen. Därpå upptäcker man att nästan 9 personer kommer få bara hjärter vid en utdelning av 10 kort. Detta för att 0,0000009536 x 9 336 487 = 8,9. Det osannolika har blivit oundvikligt.
Jag brukar alltid komplettera mina små tankeexperiment med programmeringsexempel, så nu ska jag skriva PHP (Pomle har programmerat). Brb.
Nu har jag programmerat och det blev följande skript: http://pastie.org/819660.
Här kan du köra skriptet: http://dev.pomle.com/10sofhearts.php
När jag provkörde programmet fick jag min första fullständiga hjärterhand på 170 000:e försöket. Långt under förväntat antal försök. Menså fungerar sannolikhet! Det finns inget i sannolikhetsläran som säger att det är troligare att det tar 1 048 576 försök än 1. Den säger bara till oss att fortsätter vi dela kort kommer en hand med 10 hjärter bara delas ut en gång på 1 048 576 i genomsnitt.
*** Uppdatering ***
I mitt exempel har jag använt en oändligt stor kortlek. Det är inte helt realistiskt så därför ska jag nu komplettera uträkningen.
Utgångspunkten är 52 kort. 13 av varje Hjärter, Ruter, Spader och Klöver. Första kortet blir fortfarande 0,25 eftersom 13 / 52 = 0,25. Vad man se måste göra är att subtrahera 1 från både Hjärter-poolen och total-poolen så att vi får 12 / 51 dvs 0,235. Vi fortsätter ytterligare 9 gånger och multiplicerar alla resultat med varandra. Jag lät en dator göra det åt mig med hjälp av skriptet här: http://pastie.org/832465.
Här kan skriptet köras: http://dev.pomle.com/ChanceOfOnlyRed.php.
Det nya resultatet är 1 chans på 55 314 770.
Vi kan kalla det antingen felräkning eller lathet.